Veréb József már kora gyermekkorában kiemelkedő eredményeket ért el a sport, ezen belül az atlétika területén. 14 éves koráig rövid táv futásban, dobószámokban is jeleskedett, számos területi versenyen és országos bajnokságokon. A sportot középiskolás korában, majd ezt követően, tanulmányai befejeztével is folytatta, a versenysportba a szenior atlétikai kor elérése után kapcsolódott be ismét. Több országos bajnokságon, dobószámokban /elsősorban diszkoszvetés, kalapácsvetés, súlylökés számokban/ első, illetve érmes helyezéseket ért el. 2010-től atlétikai speciális dobószámokban kezdett versenyezni, melynek eredményeként szinte képtelenség ehelyütt felsorolni valamennyi érmét, helyezését, hisz sok számban lett országos bajnok, de Európa- és Világbajnokságokon is ért el kimagasló eredményeket. 2013-ban a Speciális Dobások Világbajnokságán két számban világbajnok lett, négy számban 2. helyezést, egy számban 3. helyezést ért el, a versenyszámok ranglistájánál több számban listavezető volt. Ezen eredményei alapján a magyar csapat tagjaként meghívást kapott a 2014-ben Németországban megrendezett Nemzetek Kupájára, ahol csapatban 1. helyezést értek el, egyéniben 3. helyezett lett. Az országos bajnokságokon szinte minden versenyszámban, melyben indult országos bajnoki címet szerzett. Az ugyanebben az évben rendezett Európa bajnokságon 3 bronz, két ezüst érem mellett 4 Európa bajnoki címet is nyert nyeles labdavetésben, antik ógörög diszkoszvetésben, egykezes láncos golyóvetésben (ez utóbbiban világcsúccsal), kőlökésben és kalapácsvetésben. Több számban világranglista vezető volt.
2015-ben a speciális dobószámok világbajnokságán öt számban világbajnoki címet nyert.
Évek óta rendszeres résztvevője a korecsi öböl úszásnak, a Balaton átúszásnak, továbbá a Balaton körbe kerékpározásnak. Családjának és a sportnak él.
Elért eredményei a Tamási TAM-BAU Atlétikai Club Egyesület és Tamási város hírnevét öregbítették az országban és nemzetközi szinten is.